понедельник, 6 марта 2017 г.

Формулы для правильных многоугольников

hello_html_m227f9345.pnghello_html_m790c36af.png

Правильные многоугольники

Определение. Выпуклый многоугольник называется правильным, если все
его углы равны и все стороны равны.

Теоремы. В любой правильный многоугольник можно вписать окружность,
притом только одну.
Около любого правильного многоугольника можно описать
окружность, притом только одну.

Следствия: 1. Окружность, вписанная в правильный многоугольник, касается
сторон многоугольника в их серединах.
2. Центр окружности, описанной около правильного
многоугольника, совпадает с центром окружности, вписанной в
тот же многоугольник.hello_html_m7c203fcd.png

воскресенье, 5 марта 2017 г.

Правильные многоугольники

          Проверочная работа по теме "Правильные многоугольники"
Вопрос  1.
Чему равна сумма внешних углов выпуклого многоугольника, взятых по одному при каждой вершине?

Вопрос 2.
Внешний угол правильного многоугольника равен 180. Сколько сторон имеет этот многоугольник?

Вопрос 3.
Под каким углом пересекаются диагонали правильного пятиугольника?

Вопрос 4.
Ломаная имеет 4 звена, длины которых относятся как 1:3:4:5. Длина всей ломаной 65 см. Найдите длину наибольшего звена.

Вопрос 5.
Внутренний угол правильного многоугольника на 1440 больше внешнего угла. Сколько сторон имеет этот многоугольник?

среда, 1 марта 2017 г.

Примеры по геометрической прогрессии


Примеры

Пример 1.
Последовательность {b_n} –геометрическая прогрессия.
Найдите b_1, если b_6=-\frac{1}{81}q=-\frac{1}{9}.
Решение:
Согласно формуле b_n=b_1\cdot q^{n-1} имеем:
b_6=b_1\cdot q^5;
-\frac{1}{81}=b_1\cdot (-\frac{1}{9})^5;
Откуда b_1=-\frac{1}{81}: (-\frac{1}{9})^5=729.
Ответ: 729. 
Приметр 2.
Найдите знаменатель геометрической прогрессии {b_n}, в которой b_8=172,\;b_{11}=2\frac{11}{16}.
Решение:  
Помните, при работе с арифметической прогрессией, мы пользовались формулой, которая позволяла связать между собой не только a_n  и a_1, но и (шире) a_n и a_k?
В геометрической прогрессии мы также воспользуемся аналогичной формулой:
b_n=b_k\cdot q^{n-k},  n>k
b_{11}=b_8\cdot q^3;
2\frac{11}{16}=172\cdot q^3;
q^3=\frac{\frac{43}{16}}{172};
q^3=\frac{1}{64};
q=\frac{1}{4};
Ответ:0,25.  
Пример 3.
Найдите девятый член геометрической прогрессии, если ее десятый член равен 12, а одиннадцатый член равен 4.
Решение:  
Воспользуемся характеристическим свойством геометрической прогрессии
b_n^2=b_{n-1}\cdot b_{n+1}
b_{10}^2=b_9\cdot b_{11};
144=b_9\cdot 4;
b_9=36;
Ответ: 36.  
Пример 4. 
Найдите сумму первых шести членов геометрической прогрессии
\sqrt3,\;3,\;3\sqrt3,\;...
Решение:  
Для того, чтобы воспользоваться формулой S_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}, нам следует найти знаменатель q:
q=\frac{b_{n+1}}{b_n};
q=3\sqrt3:3=\sqrt3;
Тогда S_6=\frac{\sqrt3((\sqrt3)^6-1))}{\sqrt3-1}=\frac{26\sqrt3(\sqrt3+1)}{3-1}=13\sqrt3(\sqrt3+1)=39+13\sqrt3;
Ответ: 39+13\sqrt3.  
Пример 5. 
Найдите сумму первых пяти членов геометрической прогрессии {b_n}, в которой  b_3=\frac{1}{2},\;b_5=2,\;q>0.
Решение:  
Найдем знаменатель прогрессии q:
b_5=b_3\cdot q^2;
2=\frac{1}{2}\cdot q^2;
q^2=4;
q=\pm 2;
Так как по условию q>0, то  берем  только q=2.
Далее, чтобы применить формулу суммы геометрической прогрессии S_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}, нам потребуется найти b_1:
Так как b_3=b_1\cdot q^2, то \frac{1}{2}=b_1\cdot 4;
b_1=\frac{1}{8};
Тогда S_5=\frac{\frac{1}{8}(32-1)}{2-1}=\frac{31}{8};
Ответ: \frac{31}{8}.  
Пример 6.
Представьте в виде обыкновенной дроби число 0,(4).
Решение:  
0,(4)=0,4444....=0,4+0,04+0,004+0,0004+...
Замечаем, что число 0,(4) составлено из суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:
Пусть эта прогрессия {b_n},
b_1=0,4;
q=\frac{1}{10},\;|q|<1;
Тогда сумма бесконечно убывающей  прогрессии {b_n} (а значит, и само число 0,(4)) есть
S=\frac{b_1}{1-q};
S=\frac{0,4}{1-0,1}=\frac{4}{9};
0,(4)=\frac{4}{9};
Ответ: \frac{4}{9}.  
Пример 7. 
Найдите x, если известно, что числа x-3,\;\sqrt{5x},\;x+16 являются последовательными членами геометрической прогрессии (в указанном порядке).
Решение:  
Согласно характеристическому свойству геометрической прогрессии b_n^2=b_{n-1}\cdot b_{n+1} имеем:
 (\sqrt{5x})^2=(x-3)(x+16);
5x=x^2+13x-48,\;x>0;
x^2+8x-48=0,\;x>0;
x=4;
При найденном x имеем следующую геометрическую прогрессию: 1,\;\sqrt{20},\;20.
Ответ: 4.  
Пример 8.
Найдите знаменатель геометрической прогрессии, отношение суммы первых четырех членов которой, к сумме первых двух членов равно \frac{82}{81}.
Решение: 
Пусть дана геометрическая прогрессия {b_n}.
Тогда, согласно условию,  \frac{S_4}{S_2}=\frac{82}{81};
\frac{\frac{b_1(q^4-1)}{q-1}}{\frac{b_1(q^2-1)}{q-1}}=\frac{82}{81};
\frac{q^4-1}{q^2-1}=\frac{82}{81};
q^2+1=\frac{82}{81};
q^2=\frac{1}{81};
q=\pm \frac{1}{9};
Ответ: \pm \frac{1}{9}.  
Пример 9. 
Между числами 3 и 12 вставьте три числа так, чтобы получилась геометрическая прогрессия (q>0).
Решение: 
Когда мы вставим три числа (назовем их b_2,\;b_3,\;b_4), у нас получится геометрическая прогрессия из пяти членов (b_1=3,\;b_5=12).
Так как b_5=b_1\cdot q^4, то 12=3\cdot q^4;
q^4=4;
q=\pm \sqrt2;
Так как по условию q>0, то q=\sqrt2.
Тогда имеем следующую геометрическую прогрессию:
3,\;3\sqrt2,\;6,\6\sqrt2,\;12.
Ответ: 3\sqrt2,\;6,\;6\sqrt2.